Narzędzia On-Line

W sieci można znaleźć wiele dostępnych dla każdego bardzo dobrych narzędzi ułatwiających wykonywanie obliczeń matematycznych. Za ich pomocą możesz sprawdzić poprawność rozwiązań większości typowych zadań z podstawowych przedmiotów matematycznych na studiach. Oto kilka z nich:

Wolfram Alpha

Google

Pochodne

Całki

Na stronie Wolfram Alpha możesz przeprowadzić wiele, nawet bardzo zaawansowanych, obliczeń. Oto kilka przykładów użycia:

granica ciągu a_n = (1-1/n)ⁿ: lim (1-1/n)^n as n->infinity
granica funkcji: lim (cos(x) - 1)/x^2 as x->0
wykres funkcji: plot x^3 -2 x^2+ 1
całka nieoznaczona: integrate x sin(x) dx
całka oznaczona: integrate x^2 dx from x=0 to 1
Więcej

Google Za pomocą wyszukiwarki Google możesz generować wykresy prostych funkcji jednej zmiennej. Na przykład, wprowadź w pole zapytań wzór x^2/(1+x^2).
Możesz również wprowadzić jednocześnie kilka wzorów, np. sin(x)/x, 1 - x^2/6+x^4/120 oddzielając je przecinkiem. Możesz również ograniczyć wyświetlany obszar poleceniem x is from a to b, np. x/(1+x^2), x is from -10 to 10, y is from -1 to 1
Jeśli używasz przeglądarki która obsługuje technologię WebGL i masz stosunkowo nową kartę graficzną, to możesz również narysować wykres funkcji dwóch zmiennych, np. x^2+y^2.
Wypróbuj następująca funkcję: 5 + (-sqrt(1-x^2-(y-abs(x))^2))*cos(30*((1-x^2-(y-abs(x))^2))), x is from -1 to 1, y is from -1 to 1.5, z is from 1 to 6

Kalkulator pochodnych ze strony www.derivative-calculator.net/ pozwala na obliczanie pochodnej szerokiej klasy funkcji w trybie on-line. Potrafi również liczyć pochodne cząstkowe. Za jego pomocą możesz sprawdzić poprawność swoich rozwiązań - pokazuje również pośrednie kroki obliczeń.

Kalkulator całek ze strony www.integral-calculator.com pozwala na obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych z szerokiej klasy funkcji w trybie on-line.

UWAGA

Pamiętaj o zachowaniu ostrożności przy posługiwaniu się tymi narzędziami. Oto przykład: na lewym rysunku znajduje się wykres funkcji $f(x) = e^{x} \ln(1+e^{-x})$ wygenerowany przez program Mathematica (luty, 2013) a na prawym rysunku znajduje się poprawny wykres tej funkcji.

Błąd ten łatwo zauważyć jeśli policzy się granicę funkcji $f$ przy x dążącym do nieskończoności, co można zrobić korzystając z reguły de l'Hospitala: $\lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} \frac{\ln(1+e^{-x})}{e^{-x}} =^{H} \lim_{x\to\infty} \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x}) e^{-x}} = \lim_{x\to\infty} \frac{1}{1+e^{-x}} = 1~.$ Nieco dokładniejsza obliczenia pokazują, że $|f(x)-1|\lt e^{-x}$ , więc, np., dla $x \gt 20$ mamy $|f(x)-1| \lt 2.1 \times 10^{-9}$ . Błąd jest spowodowany tym, że dla wartości x większych od 30 zaczynają narastać błędy numeryczne związane z wyznaczaniem wartości $f(x)$ .