Słownik topologiczny

Tutaj jest lista podstawowych pojęć z topologii. Dobrze by było, aby każdy student kierunku Informatyka na WPPT po pierwszym etapie studiów znał wszystkie pojęcia które się tutaj znajdują.

C(X): Zbiór wszystkich funkcji ciągłych z przestrzeni X w liczby rzeczywiste, czyli to samo, co $C(X,\mathbf{R})$.
Jeśli $X$ jest przestrzenią zwartą, to przestrzeń $(C(X),d)$, gdzie d jest metryką zbieżności jednostajnej, jest przestrzenią zupełna.
C(X,Y): Zbiór wszystkich funkcji ciągłych z przestrzeni metrycznej X w przestrzeń metryczną Y.
Ciąg Cauchy'ego: Ciąg $(a_n)$ taki, że dla każdego $r > 0$ istnieje liczba $N \in \mathbf{N}$ taka, że dla $(\forall n,m > N)(d(a_n ,a_m ) \lt r)$ ; inna nazwa: ciąg podstawowy.
Ciąg podstawowy: To samo co ciąg Cauchy'ego.
Domknięcie zbioru: Domknięciem zbioru $A$ nazywamy najmniejszy zbiór domknięty, oznaczany przez $cl(A)$, zawierający zbior $A$.

Zbiór $A$ jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy $A$ = $cl(A)$.

$A \subseteq cl(A)$.

$cl(A \cup B) = cl(A) \cup cl(B)$

$cl(A \cap B) \subseteq cl(A)\cap cl(B)$

Ponadto $cl(A) = (Int(A^c))^c$ , gdzie $Int(A)$ oznacza wnętrze zbioru $A$.
Funkcja Lipschitza: Funkcja $f : X \to Y$ spełnia warunek Lipschitza, jeśli istnieje liczba $L \gt 0$ taka, że $$(\forall x,y \in X)(d_Y (f(x),f(y)) \le L \cdot d_X (x,y))~.$$
Funkcja ciągła: Funkcja $f : X \to Y$ jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie $a$ zbioru $X$.
Funkcja $f$ jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego przez funkcję $f$ jest otwarty.
Funkcja ciągła w punkcie: Funkcja $f : X \to Y$ jest ciągła w punkcie $a \in X$, jeśli $$(\forall \epsilon>0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in X)(d_X(x,a)<\delta \to d_Y(f(x),f(a)) < \epsilon)~.$$
Funkcja jednostajnie ciągła: Funkcja $f : X \to Y$ jest jednostajnie ciągła, jeśli dla każdego e > 0 $$(\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0)(\forall x,y, \in X)(d_X(x,y)< \delta \to d_Y(f(x),f(y)) \gt \epsilon)~.$$
Każda funkcja ciągła na zbiorze zwartym jest na nim jednostajnie ciągła.
Funkcja rzeczywista: Funkcja z dowolnego zbioru w zbiór liczb rzeczywistych.
Kula otwarta: $K(a,r) = \{x : d(a,x) \lt r\}$
Metryka Euklidesowa: Metryka na przestrzeni $\mathbf{R}^n$ określona wzorem $$d[(x_1 ,...,x_n ),(y_1 ,...,y_n )] = \sqrt{(x_1 -y_1 )^2 +...+(x_n -y_n )^2}~.$$
Metryka dyskretna: Metryka na dowolnym zbiorze $X$ taka, że $d(x,y) = 1$, jeśli $x \neq y$.
Metryka zbieżności jednostajnej: Metryka na przestrzeni C(X), gdzie X jest przestrzenią zwartą określona wzorem $d(f,g) = \sup\{|f(x)-g(x)|: x\in X\}$.
Odcinek: Taki podzbiór X prostej $\mathbf{R}$, że dla każdych dwóch $a,b$ ze zbioru $X$ oraz dowolnego $c$ takiego, że $a \lt c \lt b$ mamy $c \in X$
Przestrzeń metryczna: Para $(X,d)$, gdzie $X$ jest niepustym zbiorem oraz $d$ jest funkcją określoną na $X \times X$ wartościach w $[0,\infty)$, spełniającą nastepujące warunki:

jest symetryczna: $d(x,y)=d(y,x)$

$(\forall x,y \in X)((d(x,y)=0 \equiv x=y)$

spełnia nierówność trójkąta: $d(x,z) \le d(x,y)+d(y,z)$.
Przestrzeń ośrodkowa: Taka przestrzeń metryczna, która zawiera przeliczalny podzbiór gęsty.
Przestrzenie $\mathbf{R}^n$ są ośrodkowe. Przestrzeń C([0,1]) jest ośrodkowa.
Przestrzeń polska: Taka przestrzeń metryczna, która jest zupełna i ośrodkowa.
Przestrzenie $\mathbf{R}^n$ są polskie. Przestrzeń $C([0,1])$ jest przestrzenia polską.
Przestrzeń spójna: Taka przestrzeń metryczna której nie można przedstawić jako sumy dwóch niepustych zbiorów rozłącznych i otwartych.
Prosta rzeczywista jest spójna. Przestrzenie $\mathbf{R}^n$ są spójne.
Przestrzeń zupełna: Taka przestrzeń metryczna w której każdy ciąg Cauchy'ego jest zbieżny.
Przestrzenie $\mathbf{R}^n$ są zupełne.
Punkt izolowany: Punkt a jest punktem izolowanym przestrzeni metrycznej, jeśli istnieje takie $\epsilon \gt 0$, że $K(a,r) = \{a\}$.
Punkt skupienia: Punkt jest punktem skupienia przestrzeni metrycznej, jeśli nie jest punktem izolowanym.
Punkt $a$ jest punktem skupienia przestrzeni metrycznej, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg punktów różnych od $a$ zbieżny do $a$.
Wnętrze zbioru: Wnętrzem zbioru $A$ nazywamy największy zbiór otwarty, oznaczany przez $Int(A)$, zawarty w zbiorze $A$.

Zbiór $A$ jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy $A = Int(A)$.

$Int(A) \subseteq A$.

$Int(A \cap B) = Int(A) \cap Int(B)$

$Int(A) \cup Int(B) \subseteq Int(A \cup B)$

Ponadto $Int(A) = (cl(A^c)^c$ , gdzie $cl(A)$ oznacza domknięcie zbioru.
Własność Darboux: Funkcja rzeczywista $f$ określona na pododcinku $X$ prostej $\mathbf{R}$ ma własność Darboux jeśli dla każdych $a,b \in X$ oraz liczby rzeczywistej $c$ jeśli $f(a) \lt c \lt f(b)$ lub $f(b) \lt c \lt f(a)$ to istnieje $x \in (a,b)$ taki, że $f(x) = c$.
Zbieżność jednostajna: Ciąg funkcji rzeczywistych $(f_n)$ ze zbioru $X$ w $\mathbf{R}$ jest zbieżny jednostajnie do funkcji $g$, jeśli $$(\forall \epsilon \gt 0)(\exists N)(\forall n \gt N)(\forall x \in X)(|f_n (x) - g(x)| \lt \epsilon)~.$$
Zbieżność jednostajna implikuje zbieżność punktową, ale nie na odwrót. Granica jednostajnie zbieżnego ciągu fukcji ciągłych jest funkcją ciągłą.
Zbieżność punktowa: Ciąg funkcji rzeczywistych $(f_n)$ ze zbioru $X$ w $\mathbf{R}$ jest zbieżny punktowo do funkcji $g$, jeśli $$(\forall x \in X)( \lim_{n} f_n (x) = g(x))~.$$
Zbiór domknięty: Zbiór A jest domknięty, jeśli jego dopełnienie jest zbiorem otwartym.
Rodzina zbiorów domkniętych jest domknięta na skończone sumy oraz dowolne przekroje. Zbiór $A$ jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy granica każdego zbieżnego ciągu punktów ze zbioru $A$ należy do zbioru $A$. Dopełnienie zbioru domkniętego jest zbiorem otwartym.
Zbiór gęsty: Zbiór jest gęsty, jeśli jego domknięcie jest równe całej przestrzeni.
Liczby wymierne są gęste w liczbach rzeczywistych. Zbiór punktów o obu współrzędnych wymiernych jest gęstym podzbiorem płaszczyzny. Zbiór wielomianów jest gęstym podzbiorem przestrzeni $C([0,1])$.
Zbiór otwarty: Zbiór $A$ jest otwarty, jeśli dla każdego elementu $a \in A$ można znależć takie $\epsilon \gt 0$, że $K(a,r) \subseteq A$.
Rodzina zbiorów otwartych jest domknięta na skończone przekroje oraz dowolne sumy. Dopełnienie zbioru otwartego jest zbiorem domkniętym.
Zbiór wypukły: Podzbiór $A$ przestrzeni $\mathbf{R}^n$ jest wypukły, jeśli dla każdych dwóch punktów $P$, $Q$ ze zbioru $A$ odcinek $PQ$ jest zawarty w zbiorze $A$.
Zbiór zwarty: Zbiór $A$ jest zwarty, jeśli z każdego ciągu punktów zbioru $A$ można wybrać podciąg zbieżny do punktu zbioru A.
Przykładami podzbiorów zwartych R są wszystkie odcinki domknięte i ograniczone.
Ogólniej: podzbiór $\mathbf{R}^n$ jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.
Każdy zbiór zwarty jest domknięty. Przekrój dowolnej rodziny zbiorów zwartych jest zwarty. Suma skończonej liczby zbiorów zwartych jest zwarta.