- Aksjomat Ekstensjonalności
- Dwa zbiory są równe jeśli mają te same elementy.
- Aksjomat Wyboru (AC)
- Każda rozbicie ma selektor, czyli taki zbiór, który z każdym elementem rozbicia ma dokładnie jeden element wspólny.
- Alef zero
- Moc zbioru liczb naturalnych. Oznaczenie: ℵ0
- Antytautologia
- Zdanie rachunku zdań fałszywe dla dowolnej waluacji. Inna nazwa - zdanie sprzeczne.
- Arytmetyka kardynalna
- |A|+|B| = |(A×{0}) + (B×{1})|
- |A|⋅|B|=|A×B|
- |A||B|=|AB|
- Bijekcja
- Funkcja, która jest jednocześnie injekcją i surjekcją.
- Continuum
- Moc zbioru liczb rzeczywistych. Oznaczenie: c.
- Częściowy porządek
- Para (X,R) taka, że R jest relacją zwrotną na X, przechodnią i słabo antysymnetryczną.
- Dobry porządek
- Taki liniowy porządek, że każdy jego niepusty podzbiór ma element najmniejszy.
- Element maksymalny
- Jeśli (X,R) jest częściowym porządkiem, to element a∈X jest R-maksymalny, jeśli (∀x∈X)(aRx→x=a).
- Element minimalny
- Jeśli (X,R) jest częściowym porządkiem, to element a∈X jest R-minimalny, jeśli (∀x∈X)(xRa→x=a).
- Element najmniejszy
- Jeśli (X,R) jest częściowym porządkiem, to element a∈X jest R-najmniejszy, jeśli (∀x∈X)(aRx).
- Element najwiekszy
- Jeśli (X,R) jest częściowym porządkiem, to element a∈X jest R-najwiekszy, jeśli (∀x∈X)(xRa).
- Funkcja
- Zbiór f jest funkcją, jeśli jest taką relacją, że (∀x,a,b)((x,a)∈f∧(x,b)∈f)→a=b).
- Hipoteza Continuum (CH)
- Zdanie: "jeśli A⊆R to |A|=|R| lub |A|≤|N|"
- Iloczyn kartezjański
- Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy zbiór A×B złożony ze wszystkich par uporządkowanych (a,b) takich, że a∈A oraz b∈B.
- Injekcja
- Funkcja f:X→Y jest injekcją jeśli f(x)=f(y)→x=y dla dowolnych x,y.
- Inkluzja
- Zbiór A zawiera się w zbiorze B jeśli każdy element zbioru A należy do zbioru B.
- Izomorfizm
- Dwa częściowe porządki (X,R) i (Y,Q) są izomorficzne, jeśli istnieje bijekcja f:X→Y taka, że (∀x,y∈X)((xRy)≡(f(x)Qf(y)) .
- Klasa abstrakcji
- Klasą abstrakcji elementu a względem relacji równoważności R nazywamy zbiór [a]R={x:aRx}.
- Krata
- Częściowy porządek (X,R) w którym każdy niepusty skończony podzbiór ma kres górny oraz kres dolny.
- Krata zupełna
- Częściowy porządek (X,R) w którym każdy niepusty podzbiór ma kres górny oraz kres dolny.
- Lemat Kuratowskiego-Zorna (LKZ)
- Zdanie: w każdym częściowym porządku, który spełnia warunek "każdy łańcuch ma ograniczenie górne", istnieje element maksymalny.
- Liczba algebraiczna
- Liczba, która jest pierwiastkiem jakiegoś niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych.
- Liczba przestępna
- Liczba rzeczywista, która nie jest liczbą algebraiczną.
Liczby e oraz π są liczbami przestępnymi.
- Liniowy porządek
- Taki częściowy porządek (X,R), że (∀x,y∈X)((xRy)∨(x=y)∨(yRx)).
- Modus ponens
- Następująca reguła wnioskowania: {p,p→q}⊨q
- Obraz zbioru przez relację
- Obrazem zbioru A przez relację R nazywamy zbiór R[A] złożony z wszystkich takich elementow y, że (∃x∈A)(xRy).
- Para elementów
- Parą elementów x i y jest zbiór {x,y}, którego jedynymi elementami są x i y.
- Para uporządkowana
- Definicja Kuratowskiego: (x,y)={{x},{x,y}}.
- Prawa de Morgana
- Kilka praw rachunku zdań, rachunku zbiorów, rachunku predykatów łączących własności spójników/operatorów dualnych:
- ¬(p∨q)≡(¬p∧¬q), ¬(p∧q)≡(¬p∨¬q)
- (A∪B)c=Ac∩Bc, (A∩B)c=Ac∪Bc
- ¬(∃x)ϕ(x)≡(∀x)(¬ϕ(x)), ¬(∀x)ϕ(x)≡(∃x)(¬ϕ(x))
- Przechodniość
- Relacja R jest przechodnia, jeśli (∀x,y,z)((xRy)∧(yRz)→xRz).
- Punkt stały odwzorowania
- Punktem stałym odwzorowania f:X→X nazywamy taki element a∈X, że f(a)=a.
- Relacja
- Zbiór par uporządkowanych.
- Relacja odwrotna
- Relacją odwrotną do relacji R nazywamy zbiór R−1={(x,y):(y,x)∈R}.
- Relacja równoważności
- Relacja zwrotna, symetryczna oraz przechodnia.
- Rezolucja
- Następująca reguła wnioskowania: {p∨Q,¬p∨R}⊨Q∨R
- Rodzina zbiorów
- Zbiór, którego elementami są zbiory. W aksjomatycznych teoriach mnogości każdy zbiór jest rodziną zbiorów.
- Rozbicie zbioru
- Rozbiciem zbioru X nazywamy taką rodzinę podzbiorów zbioru X, że
- jej suma jest równa zbiorowi X;
- składa się ze zbiorów niepustych;
- jej elementy są parami rozłączne.
- Równoliczność
- Zbiory A i B są równoliczne (|A|=|B|), jeśli istnieje bijekcja między A i B.
- Różnica symetryczna
- Binarne działanie mnogościowe zdefinowane wzorem (A∖B)∪(B∖A).
- Supremum
- Najmniejsze ograniczenie górne zbioru.
- Surjekcja
- Funkcja f:X→Y jest surjekcją jeśli rng(f)=Y.
- Symbol Newtona
- (nk) = liczba k-elementowych podzbiorów zbioru {1,…,n}
- Symetria
- Relacja R jest symetryczna, jeśli (∀x,y)(xRy→yRx).
- Słaba antysymetria
- Relacja R jest słabo antysymetryczna, jeśli (∀x,y∈X)((xRy∧yRx)→x=y).
- Tautologia
- Zdanie rachunku zdań prawdziwe dla każdej waluacji.
- Twierdzenie Cantora
- |A|<|P(A)|.
- Twierdzenie Cantora-Bernsteina
- (|A|≤|B|∧|B|≤|A|)→|A|=|B|.
- Twierdzenie Kuratowskiego-Tarskiego
- Jeśli L jest kratą zupełną oraz f:L→L jest monotoniczne (czyli x≤y→f(x)≤f(y)), to f ma punkt stały.
- Twierdzenie Russell'a
- Nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów.
- Waluacja
- Dowolne przyporządkowanie zmiennym zdaniowym wartości logicznych.
- Wartości logiczne
- W klasyczym rachunku zdań jest to zbiór {FALSE,TRUE}.
- Zasada Dirichletta
- Jeśli m, n są liczbami naturalnymi, n<m oraz f:{1,...,m}→{1,...,n} to f nie jest injekcją.
- Zasada Indukcji Matematycznej
- Następująca własność liczb naturalnych:
"jeśli A jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych N takim, że 0∈A∧(∀n∈N)(n∈A→n+1∈A) , to A=N"
- Zasada dobrego uporządkowania (WO)
- Zdanie: "każdy zbiór można dobrze uporządkować".
- Zbiór mocy continuum
- Zbiór równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych.
- Zbiór potęgowy
- Zbiorem potęgowym zbioru X nazywamy zbiór P(X) wszystkich podzbiorów zbioru X.
- Zbiór przeliczalny
- Zbiór A jest przeliczalny jeśli jest pusty lub istnieje surjekcja z liczb naturalnych na zbiór A.
- Zbiór pusty
- Zbiór, który nie ma żadnego elementu.
- Zbiór skończony
- Zbiór równoliczny ze zbiorem {0,...,n−1} dla pewnej liczby naturalnej n.
- Zwrotność
- Relacja R jest zwrotna na zbiorze X jeśli (∀x∈X)((x,x)∈R).
- Złożenie relacji
- Złożeniem relacji R i S nazywamy relację R∘S taką, że dla wszystkich par (x,z) mamy (x,z)∈R∘S≡(∃y)((x,y)∈S)∧(y,z)∈R))